
Arranjos com e sem repetição
Arranjos com e sem repetição
- Princípio fundamental da Contagem
- Fatorial de um nº natural
- Arranjos
- Arranjos simples sem repetição
- Permutações
- Arranjos com repetição ou arranjos completos
- Combinações
- Triângulo de Pascal
- Binómio de Newton
- Princípio fundamental da contagem
- O Luís possui 3 casacos, 6 camisas e 8 pares de calças de ganga.
Sabendo que vai sair para a escola vestindo 1 camisa, 1 par de calças e 1 casaco de quantas formas se pode vestir assumindo que todas as peças de vestuário são diferentes.
3 X 6 X 8 = 144 maneiras diferentes
2. A Sandra vive numa margem do rio e a escola que frequenta encontra-se na outra margem. Para atravessar terá que passar por uma ilha que tem uma ligação por 2 pontes à ilha e existem outras 3 pontes que ligam a ilha à escola.
De quantas formas pode a Sandra ir de casa para a escola?

A Sandra pode percorrer um total de 6 caminhos.
3. Num restaurante, a ementa é constituída por 4 entradas, 12 pratos de carne, 6 pratos de peixe e 5 sobremesas.
O João foi almoçar e pediu um prato de peixe, 1 entrada e 1 sobremesa o Luís pediu um prato de carne, 1 entrada e 1 sobremesa.
De quantas formas diferentes podem o João e o Luís fazer a sua escolha.
João: 4 X 6 X 5 = 120 maneiras diferentes
Luís: 4X12X5 = 240 maneiras diferentes
4. O Ricardo é Bloguer, reparou que está a escrever um artigo que já existia uma publicação semelhante. Sabendo que alterando a ordem das palavras é possível criar um novo artigo diferentes.
Sabendo que o artigo tinha 3 palavras A B C, de quantas formas o pode fazer?
A B C, A C B; B C A; B A C; C A B; C B A, total de 6 formas de escreve um título com 3 palavras.
- Fatorial de um número
Designa-se fatorial de um nº natural n e representa-se por n! ao produto dos n primeiros números naturais.
n! = n(n-1)(n-2)X…2×1
Por exemplo:
6! = 6x5x4x3x2x1 = 720
Sem repetição.
5 pessoas em fila: 5 4 3 2 1, 120 maneiras. Cada lugar se for previamente preenchido fica menos 1 lugar na situação seguinte.
Por exemplo numa prova de natação participaram 9 nadadores. Se todos terminarem a prova com tempos distintos de quantas formas são as classificações possíveis?
Existe um conjunto de nove concorrentes e o nº de maneiras de os ordenar é igual a permutações de 9.
9! = 362 880. 9! = 9X8X7X6X5X4X3X2X1
Exemplos:
- Numa prateleira vão ser colocados lado a lado 14 livros diferentes.
- De quantas formas é possível ordenar os livros na prateleira?
- De quantas maneiras é possível ordenar os livros na prateleira se os dois maiores ocuparem os extremos
Resolução:

Arranjos sem repetição
Exemplo numa corrida existem 6 atletas a disputar os primeiros 3 lugares.
Por cada lugar ocupado vão diminuindo as hipóteses seguintes.
De quantas formas diferentes se podem dispor os atletas pelos 3 primeiros lugares.



Designam-se permutações de n elementos a todas as sequências diferentes que é possível obter com os n elementos.

Temos uma fila com 4 pessoas para ocuparem 4 lugares sentados. A forma de distribuição P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24 hipóteses.
Permutações circulares
Dado um conjunto com n elementos, o nº de permutações circulares do n elementos é da por Pn/n = (n-1)!
Exemplo:
De quantas maneiras diferentes se podem sentar 10 pessoas à volta de uma mesa circular se:
a) os lugares forem numerados?
b) os lugares não forem numerados?
Resolução:
a) Se os lugares da mesa forem numerados, a primeira pessoa que se vai sentar tem 10 hipóteses, a segunda pessoa tem 9 hipóteses, a terceira tem 8 hipóteses e assim sucessivamente, até à décima pessoa que tem 1 hipótese.
Portanto, existem 10! = 3 628 800 maneiras diferentes de ocupar os 10 lugares.
b) Se os lugares da mesa não forem numerados, o que interessa é a posição relativa de cada pessoa, ou seja, depois de sentarmos as 10 pessoas podemos “rodá-las” de 10 maneiras sem que a posição relativa se altere.
Portanto, existem 10!/10 = 9! = 362 880 maneiras diferentes de ocupar os 10 lugares.
Caso não exista numeração 1 dos lugares serve de posição relativa.
Por exemplo numa mesa com 13 pessoas não numeradas o nº de hipóteses é (13-1)! = 12!
Arranjos com repetição ou arranjos completos
Verificam-se quando o nº de lugares por cada opção se mantém o mesmo.
Por exemplo se lançarmos 4 vezes um dado quais são os casos possíveis?
Temos 64 casos possíveis
Se for uma moeda lançada 5 vezes, temos 2^5 casos possíveis.
No jogo Totobola, por cada aposta temos 3 resultados 1 X 2, tendo 13 apostas. O total de possibilidades é 3^13 são as hipóteses de aposta.
Em resumo

Exemplos de aplicação
Exemplo nº 1
O código de um cofre é constituído por uma sequência de 5 números, não havendo nenhum zero na sua constituição.
Quantos códigos podem ser constituídos?

Resolução:

Exemplo nº2
De quantas maneiras distintas podem ficar sentados cinco rapazes e quatro raparigas, num banco de nove lugares, de tal modo que as raparigas fiquem todas juntas numa das extremidades.

Exemplo nº 3
Com as letras da palavra BIOLOGIA, quantas palavras, com ou sem sentido (anagramas) se podem escrever?
A) 10080; B) 20160; C) 40320; D) 161280

Exemplo nº 4
Um grupo de seis amigos, Ana, Beatriz, Carla, Ricardo, Pedro e Luís, dispuseram-se lado a lado para uma fotografia.
O Luís e a Carla são namorados, de quantas formas podemos tirar a fotografia de modo que os dois fiquem juntos?

Exemplo nº 5
A Teresa escolhe aleatoriamente um código constituído por 5 digitos. Por exemplo 32426.
Admitindo que os digitos são atribuídos ao acaso quanto códigos diferentes podemos obter.
a) com os digitos todos diferentes
10X9X8X7X6 = 30 240
b) podendo os digitos serem todos iguais
10X10X10X10X10 = 100 000
Exercícios de Revisão
Exercício nº 1

Exercício nº 2

Exercício nº 3

Exercício nº 4

Exercício nº 5

Exercício nº 6

Exercício nº 7

Exercício nº 8
Quantos códigos de Multibanco, que tenha os algarismos todos diferentes, é possível formar?
A) 10 000 B) 1000 c) 5040 D) 10 080
Exercício nº 9

Exercício nº 10

Exercício nº 11
Um código é constituído por uma sequência de 3 vogais, seguidas de 2 algarismos. Quantas possibilidades diferentes há para o código?
Exercício nº 12
Quantos números naturais, escritos com algarismos todos diferentes, existem entre os números 1000 e 3000?
Exercício nº 13

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