Definição de Probabilidade Laplace

Setembro 4, 2022

Definição de Probabilidade Laplace

Probabilidades

Conceitos Essenciais

Exemplos:

Considere a experiência aleatória que consiste no lançamento de um dado cúbico e observar o nº de pontos da face que fica voltada para cima.

Universo (ou espaço)de resultados ou espeço amostral

S = {1,2,3,4,5,6}

Conceitos Básicos:

Experiência aleatória: é uma experiência que se pode repetir tantas vezes quantas se queira em que são conhecidos os casos possíveis e não se consegue determinar o resultado de cada uma das experiências.

Ex: lançamento de uma moeda ao ar

Universo ou espaço de resultados: é o conjunto dos resultados possíveis associados a uma experiência.

Por exemplo no lançamento de um dado S = {1,2,3,4,5,6}

Acontecimento: Dada uma experiência aleatória em que o espaço amostral é S, chamamos de acontecimento a todo o subconjunto de S.

Definição de Laplace: A probabilidade de um acontecimento é igual à razão (divisão) entre o nº de casos favoráveis e o nº de casos possíveis.

P(A) = Nº Casos Favoráveis / Nº Casos Possíveis

0<= P(a)<=1 (a probabilidade de qualquer acontecimento está entre 0 e 1)

Qualquer P(A) ɛ [0,1]

Qualquer probabilidade está entre ser certa (1) ou ser impossível (0).

Conceitos a rever:

Espaço Amostral E = {Conjuntos dos acontecimentos possíveis}

Por exemplo no lançamento de uma moeda temos E = {1,2,3,4,5,6}

Acontecimento Elementar, é aquele que tem apenas um caso possível.

Por exemplo no lançamento de um dado obter um múltiplo de 5, M5 = {5}

Acontecimento composto, é aquele que tem mais do que 1 caso possível.

Por exemplo, no lançamento de um dado sair um múltiplo de 3.

E = {3,6}

Acontecimento certo, é aquele cujos casos possíveis coincidem com o espaço amostral.

Por exemplo no lançamento de um dado sair um nº inferior a 7.

A = {1,2,3,4,5,6}

Acontecimento impossível, é aquele que não tem nenhum caso possível. Por exemplo sair um nº maior do que 7, no lançamento de um dado numerado de 1 a 6.

B = {}, acontecimento impossível.

Acontecimentos incompatíveis, são acontecimentos que não têm qualquer elemento em comum a sua intersecção dá um conjunto vazio.

Acontecimentos incompatíveis ou disjuntos

Acontecimentos compatíveis

São acontecimentos cuja interseção é diferente de zero.

Exemplo 1

Temos 1 baralho com 52 cartas.

Calcula as seguintes probabilidades?

Probabilidade de retirar ao acaso uma carta de espadas?
Probabilidade de retirar aleatoriamente um às?
Probabilidade de retirar ao acaso um valete de ouros?

Resolução:

4 naipes, cada naipe tem 13 cartas. Probabilidade (espadas) = 13/52 = ¼
4 Ases (1 de cada Naipe), Probabilidade (AS) =4/52 = 1/13
1 Valete de Ouros, P (valete de Ouros) = 1/52

Exemplo 2

O Tiago quis fazer uma aposta com o Luís.

(Tiago), vou lançar um dado e vou apostar que saí múltiplo de 3. O Luís apostou que iria sair múltiplo de 2. Qual dos 2 amigos tem maior probabilidade de ganhar?

M3 ={3,6}

M2 ={2,4,6]

Probabilidade (M3) = 2/6= 1/3

Probabilidade (M2) = 3/6= ½

Como ½ >1/3, então o Luís tem maior probabilidade.

Exemplo 3

O Ricardo vai a um restaurante e tem 4 entradas, 5 pratos peixe, 6 pratos de carne e 4 sobremesas.

Sabendo que comeu prato de carne e entrada e sobremesa. De quantas formas diferentes pode realizar a sua refeição.

Entrada (4), Carne (6), sobremesas (4).

4X6X4 = 96 hipóteses de pratos diferentes (casos possíveis)

Exemplo 4

De um saco temos 4 bolas com prémio 5€, 2 bolas com prémio 100€, 1 bola com prémio 120€ e 43 bolas sem prémio.

O Luís concorreu pagando 5€ pela aposta.

Qual é a probabilidade de ganhar 5€?

P (ganhar 5€) = 4/50

P (ganhar 100€) = 2/50

P (ganhar prémio) =7/50

Exemplo 5

O Ricardo gosta muito de ler e tem 5 livros de ficção, 6 de aventura e 4 de romance para poder escolher 1 para ler no fim-de-semana.

Qual é a probabilidade de…?

Escolher um livro de aventura = P (Aventura) =6/15
Escolher um livro de ficção = P (ficção) = 5/15 = 1/3

Exemplo 6

A Lúcia lançou dois 2 dados seguidos e multiplicou os 2 dados. Qual é o espaço de resultados (casos possíveis)?

tabela de dupla entrada

X	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	8	10	12
3	3	6	9	12	15	18
4	4	8	12	16	20	24
5	5	10	15	20	25	30
6	6	12	18	24	30	36

Tabela de dupla entrada

Qual é a probabilidade de o produto ser múltiplo de 6?

P (múltiplo de 6) = 14/36 = 7/18

Exemplo 7

De um saco com bolas vermelhas e amarelas extrai-se aleatoriamente uma bola. A probabilidade de a bola ser amarela é 1/6. Comenta a afirmação.

«No saco existem 6 bolas e só uma é amarela».

Não é verdade porque não sabemos se no saco existem 6 bolas. Sabemos é que em cada 6 bolas 1 delas é amarela dada a proporcionalidade.

Por exemplo se tivermos 18 bolas temos 3 bolas amarelas por 3/18 = 1/6. Logo, não podemos concluir quantas bolas são.

Exemplo 8

Diagrama de árvore

Lançamos uma moeda e de seguida lançamos um dado, qual a probabilidade de sair face nacional na moeda e par no dado?

Relativamente ao espaço amostral temos que ver:

Casos possíveis = 2 X 6 =12

Casos favoráveis = 3

Probabilidade = 3/12 = 1/4

Propriedades da probabilidade

Acontecimentos contrários

2 características:

1 – A sua interseção é conjunto vazio, não tem compatibilidade.

2 – A sua união representa o Espaço Amostral, A U Contrário de A = S

Acontecimento impossível

Monotonia da probabilidade

Probabilidade de A união com B

A excluindo B e B excluindo A

Leis de De Morgan

Exercícios de revisão

Exercício nº 1

Sejam A e B dois acontecimentos da mesma experiência aleatória. Sabemos que:

P(A) = 0,5 e P(B) =0,3

Explica porque é que não é possível que:

1.1 A e B sejam acontecimentos contrários

1.2.

1.3

Exercício nº 2

Sejam A e B dois acontecimentos da mesma experiência aleatória. Indica se é verdadeira ou falsa a afirmação.

2.1

2.2

2.3

Exercício nº 3

Seja S o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos.

Sabe-se que:

Exercício nº4

Em relação a dois acontecimentos A e B de uma experiência aleatória, sabe-se que:

Determina P(B)

Exercício nº 5

Numa localidade são publicados semanalmente dois jornais A e B. Num inquérito feito a 80 pessoas residentes nessa localidade, 45 afirmaram assinar o jornal A, 32 o jornal B e 25 pessoas afirmaram não ser assinantes de qualquer um dos jornais.

Escolhido ao acaso um dos inquiridos, determina a probabilidade de: