Definição de Probabilidade Laplace
Definição de Probabilidade Laplace
Probabilidades
Conceitos Essenciais

Exemplos:
Considere a experiência aleatória que consiste no lançamento de um dado cúbico e observar o nº de pontos da face que fica voltada para cima.
Universo (ou espaço)de resultados ou espeço amostral
S = {1,2,3,4,5,6}
Conceitos Básicos:
Experiência aleatória: é uma experiência que se pode repetir tantas vezes quantas se queira em que são conhecidos os casos possíveis e não se consegue determinar o resultado de cada uma das experiências.
Ex: lançamento de uma moeda ao ar
Universo ou espaço de resultados: é o conjunto dos resultados possíveis associados a uma experiência.
Por exemplo no lançamento de um dado S = {1,2,3,4,5,6}
Acontecimento: Dada uma experiência aleatória em que o espaço amostral é S, chamamos de acontecimento a todo o subconjunto de S.
Definição de Laplace: A probabilidade de um acontecimento é igual à razão (divisão) entre o nº de casos favoráveis e o nº de casos possíveis.
P(A) = Nº Casos Favoráveis / Nº Casos Possíveis
0<= P(a)<=1 (a probabilidade de qualquer acontecimento está entre 0 e 1)
Qualquer P(A) ɛ [0,1]
Qualquer probabilidade está entre ser certa (1) ou ser impossível (0).
Conceitos a rever:
Espaço Amostral E = {Conjuntos dos acontecimentos possíveis}
Por exemplo no lançamento de uma moeda temos E = {1,2,3,4,5,6}
Acontecimento Elementar, é aquele que tem apenas um caso possível.
Por exemplo no lançamento de um dado obter um múltiplo de 5, M5 = {5}
Acontecimento composto, é aquele que tem mais do que 1 caso possível.
Por exemplo, no lançamento de um dado sair um múltiplo de 3.
E = {3,6}
Acontecimento certo, é aquele cujos casos possíveis coincidem com o espaço amostral.
Por exemplo no lançamento de um dado sair um nº inferior a 7.
A = {1,2,3,4,5,6}
Acontecimento impossível, é aquele que não tem nenhum caso possível. Por exemplo sair um nº maior do que 7, no lançamento de um dado numerado de 1 a 6.
B = {}, acontecimento impossível.
Acontecimentos incompatíveis, são acontecimentos que não têm qualquer elemento em comum a sua intersecção dá um conjunto vazio.

Acontecimentos compatíveis
São acontecimentos cuja interseção é diferente de zero.

Exemplo 1
Temos 1 baralho com 52 cartas.
Calcula as seguintes probabilidades?
- Probabilidade de retirar ao acaso uma carta de espadas?
- Probabilidade de retirar aleatoriamente um às?
- Probabilidade de retirar ao acaso um valete de ouros?
Resolução:
- 4 naipes, cada naipe tem 13 cartas. Probabilidade (espadas) = 13/52 = ¼
- 4 Ases (1 de cada Naipe), Probabilidade (AS) =4/52 = 1/13
- 1 Valete de Ouros, P (valete de Ouros) = 1/52
Exemplo 2
O Tiago quis fazer uma aposta com o Luís.
(Tiago), vou lançar um dado e vou apostar que saí múltiplo de 3. O Luís apostou que iria sair múltiplo de 2. Qual dos 2 amigos tem maior probabilidade de ganhar?
M3 ={3,6}
M2 ={2,4,6]
Probabilidade (M3) = 2/6= 1/3
Probabilidade (M2) = 3/6= ½
Como ½ >1/3, então o Luís tem maior probabilidade.
Exemplo 3
O Ricardo vai a um restaurante e tem 4 entradas, 5 pratos peixe, 6 pratos de carne e 4 sobremesas.
- Sabendo que comeu prato de carne e entrada e sobremesa. De quantas formas diferentes pode realizar a sua refeição.
Entrada (4), Carne (6), sobremesas (4).
4X6X4 = 96 hipóteses de pratos diferentes (casos possíveis)
Exemplo 4
De um saco temos 4 bolas com prémio 5€, 2 bolas com prémio 100€, 1 bola com prémio 120€ e 43 bolas sem prémio.
O Luís concorreu pagando 5€ pela aposta.
Qual é a probabilidade de ganhar 5€?
P (ganhar 5€) = 4/50
P (ganhar 100€) = 2/50
P (ganhar prémio) =7/50
Exemplo 5
O Ricardo gosta muito de ler e tem 5 livros de ficção, 6 de aventura e 4 de romance para poder escolher 1 para ler no fim-de-semana.
Qual é a probabilidade de…?
- Escolher um livro de aventura = P (Aventura) =6/15
- Escolher um livro de ficção = P (ficção) = 5/15 = 1/3
Exemplo 6
A Lúcia lançou dois 2 dados seguidos e multiplicou os 2 dados. Qual é o espaço de resultados (casos possíveis)?
tabela de dupla entrada
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 |
4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |
Tabela de dupla entrada
Qual é a probabilidade de o produto ser múltiplo de 6?
P (múltiplo de 6) = 14/36 = 7/18
Exemplo 7
De um saco com bolas vermelhas e amarelas extrai-se aleatoriamente uma bola. A probabilidade de a bola ser amarela é 1/6. Comenta a afirmação.
«No saco existem 6 bolas e só uma é amarela».
Não é verdade porque não sabemos se no saco existem 6 bolas. Sabemos é que em cada 6 bolas 1 delas é amarela dada a proporcionalidade.
Por exemplo se tivermos 18 bolas temos 3 bolas amarelas por 3/18 = 1/6. Logo, não podemos concluir quantas bolas são.
Exemplo 8
Diagrama de árvore
Lançamos uma moeda e de seguida lançamos um dado, qual a probabilidade de sair face nacional na moeda e par no dado?
Relativamente ao espaço amostral temos que ver:

Casos possíveis = 2 X 6 =12
Casos favoráveis = 3
Probabilidade = 3/12 = 1/4
Propriedades da probabilidade
Acontecimentos contrários
2 características:
1 – A sua interseção é conjunto vazio, não tem compatibilidade.
2 – A sua união representa o Espaço Amostral, A U Contrário de A = S

Acontecimento impossível


Monotonia da probabilidade

Probabilidade de A união com B

A excluindo B e B excluindo A


Leis de De Morgan

Exercícios de revisão
Exercício nº 1
Sejam A e B dois acontecimentos da mesma experiência aleatória. Sabemos que:
P(A) = 0,5 e P(B) =0,3
Explica porque é que não é possível que:
1.1 A e B sejam acontecimentos contrários
1.2.

1.3

Exercício nº 2
Sejam A e B dois acontecimentos da mesma experiência aleatória. Indica se é verdadeira ou falsa a afirmação.
2.1

2.2

2.3

Exercício nº 3
Seja S o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos.
Sabe-se que:

Exercício nº4
Em relação a dois acontecimentos A e B de uma experiência aleatória, sabe-se que:

Determina P(B)
Exercício nº 5
Numa localidade são publicados semanalmente dois jornais A e B. Num inquérito feito a 80 pessoas residentes nessa localidade, 45 afirmaram assinar o jornal A, 32 o jornal B e 25 pessoas afirmaram não ser assinantes de qualquer um dos jornais.
Escolhido ao acaso um dos inquiridos, determina a probabilidade de:
- Assinar o jornal A;
- Assinar os dois jornais;
- Apenas um dos jornais
Exercício 6

Exercício nº 7

Exercício nº 8

Exercício nº9
Numa determinada população 10,5% das pessoas leem o jornal A, 27,8% o jornal B e 4,6% ambos os jornais.
Consideremos os acontecimentos seguintes:
A: «lê o jornal A»;
B: «lê o jornal B».
Escolhe-se uma pessoa ao acaso, dessa população.
9.1 Determina a probabilidade de a pessoas escolhida ler pelo menos um dos jornais.
9.2 Qual é a probabilidade de a pessoa escolhida ler apenas o jornal B.
Exercícios de Revisão
Exercício nº 1

Exercício nº 2

Exercício nº 3

Exercício nº 4

Exercício nº 5

Exercício nº 6

Exercício nº 7

Exercício nº 8

Exercício nº 9

Exercício nº 10

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