Introdução aos números complexos

Complexos

Setembro 4, 2022

Introdução aos números complexos

Origem dos números complexos

Existem determinadas equações que em IR não tinham solução daí o aparecimento dos números imaginários como forma de solução para estes problemas impossíveis em IR.

Forma algébrica de um número complexo

Z = a + bi

(a: parte real e b: parte imaginária)

número complexo na forma algébrica, representação de um nº complexo diagrama de Argand — número complexo na forma algébrica

número complexo na forma algébrica, simétrico e conjugado do número complexo

Re(z), parte real do complexo (eixo Ox, corresponde ao Re(z))

Im(z) parte imaginária do complexo. (eixo Oy, corresponde ao Im(z)).

Por exemplo: z = 2 + 3 i Re(z) = 2 e Im(z) = 3

Conjugado e simétrico de um número complexo

Conjugado de Z = a – bi

Z = 2 +3i, o conjugado de Z = 2 -3i (muda o sinal da parte imaginária)

simétrico de Z = – Z = -2 + 3i (muda o sinal da parte imaginária e muda o sinal da parte real).

Parte real e parte imaginária de um nº complexo na forma algébrica.

Adição e subtracção de números complexos na forma algébrica

(3 + 9i) + (6 -4i) = (3+6) + (9-4)i = 9 + 5i

(2 + 5i) – (3 + 2i) = (2-3)+ (5-2)i= -1 + 3i

Para somarmos números complexos somamos a parte real com a parte real e a parte imaginária com a parte imaginária, sempre em separado.

Exemplo 1

Potenciação de números complexos

i^2 é um termo de referência pois i^2 = -1. Usamos também i^4n como termo de referência pois todos os valores de i com expoente múltiplo de 4 são iguais a 1. Por exemplo i^20 é do tipo i^4n, logo é igual a 1. Se tivermos i^19 = i^16 x i^3 = i^3 = -i

Por exemplo:

Exercícios de revisão

cálculo de potências de números complexos

Multiplicação de números complexo na forma algébrica

(a+bi)*(c+di) = ac + adi + bci+bdi^2= (ac -bd) + (ad + bc) i

Aplicação dos casos notáveis da multiplicação aos números complexos

Divisão de números complexos

(3 + 2i) / (1+ 5i) = [(3+2i)*(1-5i)] / [(1 +5i)*(1-5i)] = (3 – 15i + 2i – 10i^2)/(1- (5i)^2) ) = [(3+10) + (2-15)i]/(1 – 25i^2) = (13 -13i)/26 = 1/2 – 1/2i

Quando dividimos dois números complexos na forma algébrica devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.